\documentclass[11pt,a4,openright,makeidx,color,twoside,multicol]{article}
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%\DeclareMathAlphabet{\mathbfit}{OT1}{ptm}{bx}{it}
%%% exemple $\mathbf{123 ABcd}$ $\mathbfit{123 ABcd}$
%%% Exemples de polices et liens pour télécharger à
% http://benoit.rivet.free.fr/tex/tex_polices_exemples.htm
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\newtheorem{axiom}{Axiome}
\newtheorem{theorem}{Propriété}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemme}
\newtheorem{definition}{Définition}
\newtheorem{example}{Exemple}
\newtheorem{remark}{Remarque}
\begin{document}
%\begin{multicols}{2}
\def\leg#1#2{\displaystyle\left(\frac{#1}{#2}\right)}
\def\Z{\mathbb{Z}}
\paragraph{Symbole de Legendre}
\begin{definition}
Le symbole de Legendre $\leg{a}{p}$ est défini pour tout $a\in\Z$ et $p\not=2$, $p$ premier par\\
\begin{equation}
\leg a p =
\begin{cases}
	\ 0&\text{si $a\equiv 0 \mod p$}, \\
	+1& \text{si $a$ est un carré non nul $\mod p$}, \\
	-1& \text{si $a$ n'est pas un carré non nul $\mod p$}.
\end{cases}
\end{equation}
\end{definition}


Si $\leg a p = +1$ on dit que $a$ est un résidu quadratique. Si $\leg a p = -1$ on dit que $a$ est un non résidu quadratique.\\
$a\in\Z_p^*$ est un résidu quadratique si et seulement si c'est un carré dans $\Z_p^*$, c'est-à-dire si et seulement s'il existe $x\in\Z_p^*$ tel que $a=x^2$ dans $\Z_p^*$, ($a\equiv x^2 \mod p$).

\begin{theorem} \ \\

\ \ i) Pour $a, b\in\Z$ $$\leg{a b}{p} = \leg{a}{p} \leg{b}{p}.$$

\ ii) Pour $a\in\Z$ $$\leg a p \equiv a^{\displaystyle{\frac{p-1}2}}  \mod p.$$

iii) Pour tout $p\not= 2$
$$\leg{-1} p = (-1)^{\displaystyle{\frac{p-1}2}}\ \ \text{et}\ \ \leg 2 p = (-1)^{\displaystyle{\frac{p^2 -1} 8}}.$$

\;iv) (Loi de réciprocité quadratique) Pour $p$, $q$ premiers impairs et distincts
$$\leg p q \leg q p = (-1)^{\displaystyle{\frac{(p-1)(q-1)}4}}.$$

\end{theorem}
	

\paragraph{Symbole de Jacobi}
Généralisation du symbole de Legendre.
\begin{definition}
Le symbole de Jacobi est défini pour $a\in \Z$ et $n>2$, $n=p_1^{\alpha_1}\ldots p_r^{\alpha_r}$ impair par
$$\leg a n = {\leg a{p_1}}^{\alpha_1}\ldots {\leg a{p_r}}^{\alpha_r}.$$
\end{definition}
En particulier $\leg 0 n = 0$ \ \ \ et \ \ $\leg 1 n = 1$.

\def\pgcd{{\rm pgcd}}
\begin{lemma} Pour $n, m\in\Z$, impairs,\\

\ \ i) $\leg{ab} n =\leg a n \leg b n$ \ \ \ et\ \ $\leg a n = 0$ si et seulement $\pgcd(a, n) > 1$.

\ ii) $\leg{-1} n = (-1)^{\displaystyle{\frac{n-1}2}}$\ \ et
\ \ $\leg{2} n = (-1)^{\displaystyle{\frac{n^2-1}8}}$.

iii) $\leg m n = (-1)^{\displaystyle{\frac{(n-1)(m-1)}4}}\leg n m$.

\end{lemma}

Remarque. D'après la définition du symbole de Legendre, pour tout $m=p$ premier impair et tout $a = n\in \Z_p$ non nul, $n$ est un résidu quadratique $\mod m$ si et seulement si $\leg n m = +1$.\\
Lorsque $m > 2$ est impair et pas nécessairement premier, on n'a plus d'équivalence, il arrive parfois que $n$ ne soit pas un résidu quadratique $\mod m$ et que pourtant $\leg n m = +1$.\\
1)\ \ Si $n$ est un résidu quadratique $\mod m$, alors $\leg n m = +1$,\\
2)\ \ si $\leg n m = -1$, alors $n$ n'est pas un résidu quadratique $\mod m$.

%\end{multicols}
\end{document}
